Contents




1. Interactive-Boundary-Layer Approach for Airfoils . . . . . . . . . . . 1
   1.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
        1.0.1 General Features of Viscous Interactions on Airfoils . . . . . 2
   1.1 Mathematical Models for the Interaction Process: Inviscid Flow . 5
   1.2 Mathematical Models for the Interaction Process: Viscous Flow . 8
   1.3 Transition and Its Prediction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
   References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Two-Dimensional Incompressible Flows: Inviscid Method . . . .                                                  13
   2.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         13
   2.1 Hess-Smith Panel Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    14
   2.2 Viscous Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .           20
   2.3 Flowfield Calculation in the Wake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       22
   2.4 FORTRAN Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    24
        2.4.1 MAIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            25
        2.4.2 Subroutine COEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     28
        2.4.3 Subroutine OBKUTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         30
        2.4.4 Subroutine GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      31
        2.4.5 Subroutine VPDIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    31
        2.4.6 Subroutine CLCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     34
        2.4.7 Subroutine VPDWK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                        34
   References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   36

3. Two-Dimensional Incompressible Flows:
   Boundary-Layer Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      37
   3.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         37
   3.1 Some Turbulence Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                   39
       3.1.1 k -ε Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .             40
       3.1.2 Reynolds Stress Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       42
X                                                                                                        Contents


          3.1.3 Comments on k -ε and Reynolds Stress Models . . . . . . . . .                                       44
          3.1.4 Zero-Equation Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      45
     3.2 Transformed Boundary-Layer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                             48
          3.2.1 Transformed Equations: Standard Mode . . . . . . . . . . . . . .                                    49
          3.2.2 Transformed Equations: Inverse Mode . . . . . . . . . . . . . . . .                                 50
          3.2.3 Transformed Equations: General Form . . . . . . . . . . . . . . .                                   51
     3.3 Numerical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .               51
          3.3.1 Numerical Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       52
          3.3.2 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     55
          3.3.3 Block-Elimination Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                          56
          3.3.4 Bordering Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     58
     3.4 FORTRAN PROGRAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                          63
          3.4.1 MAIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .            63
          3.4.2 Subroutine INPUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                      67
          3.4.3 Subroutine IVPL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                   71
          3.4.4 Subroutine GROWTH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         72
          3.4.5 Subroutine HIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                  73
          3.4.6 Subroutine EDDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     75
          3.4.7 Subroutine COEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     77
          3.4.8 Subroutine SWTCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                        79
          3.4.9 Subroutine WAKEPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                         80
          3.4.10 Subroutine INTEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                     82
          3.4.11 Subroutine DIFF1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                   82
          3.4.12 Subroutine LNTP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    83
          3.4.13 Subroutine AMEAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                       83
          3.4.14 Subroutine BORALG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                        84
          3.4.15 Subroutine OUTPUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                        86
     References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87


4. Two-Dimensional Incompressible Flows: Transition Method . . 89
   4.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
   4.1 en -Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
   4.2 Numerical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
       4.2.1 Numerical Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
       4.2.2 Calculation of Dimensional Frequencies:
               Neutral Stability Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
       4.2.3 Calculation of Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
       4.2.4 Estimation of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
   4.3 FORTRAN Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
       4.3.1 MAIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
       4.3.2 Subroutine VELPRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
       4.3.3 Subroutine CSAVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Contents                                                                                                         XI


          4.3.4 Subroutine NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
          4.3.5 Subroutine NEWTONI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
     References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5. Applications of the Calculation Method:
   Airfoils in Incompressible Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
   5.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
   5.1 Airfoils at High Reynolds Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
   5.2 Accuracy of the en -Method for Flows with Separation . . . . . . . . . 120
        5.2.1 Experimental Data of Gault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
        5.2.2 Experimental Data of Cousteix and Pailhas . . . . . . . . . . . . 124
        5.2.3 Experimental Data of Hoheisel et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
   5.3 Airfoils at Low Reynolds Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
        5.3.1 Eppler Airfoil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
        5.3.2 Liebeck Airfoils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
   5.4 Airfoils at Low Mach Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
   5.5 Prediction of Ice Shapes on Airfoils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
        5.5.1 Flowfield Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
        5.5.2 Particle Trajectory Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
        5.5.3 The Energy Balance and Ice Accretion . . . . . . . . . . . . . . . 141
        5.5.4 Prediction of Ice Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
   5.6 Airfoils with Leading-Edge Roughness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
        5.6.1 Results for Airfoils with Leading-Edge Roughness . . . . . . . 150
        5.6.2 Results for Iced Airfoils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
        5.6.3 Effect of Ice on Airfoil Stall at High Reynolds Numbers . . 154
   5.7 Multielement Airfoils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
        5.7.1 Interaction Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
        5.7.2 Turbulence Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
        5.7.3 Solution Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
        5.7.4 Results for an Airfoil with Flap-Well . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
        5.7.5 Results for Two-Element Airfoils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
        5.7.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
   References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6. Two-Dimensional Compressible Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
   6.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
   6.1 Boundary-Layer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
       6.1.1 Transformed Equations: Standard Mode . . . . . . . . . . . . . . 171
       6.1.2 Transformed Equations: Inverse Mode . . . . . . . . . . . . . . . . 172
       6.1.3 Transformed Equations: General Form . . . . . . . . . . . . . . . 174
   6.2 Numerical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
       6.2.1 Numerical Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
       6.2.2 Newton’s Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
XII                                                                                                     Contents


           6.2.3 Block-Elimination Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
           6.2.4 Bordering Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
           6.2.5 Subroutine SOLV5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
      6.3 FORTRAN Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
      References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7. Two-Dimensional Incompressible Unsteady Flows:
   Inviscid Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
   7.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
   7.1 Unsteady Flow Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
   7.2 Influence Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
   7.3 Solution Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
   7.4 Velocity Potential and Pressure Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
   7.5 Viscous Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
   7.6 Fortran Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
   References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8. Two-Dimensional Unsteady Incompressible Flows:
   Boundary-Layer Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
   8.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
   8.1 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
   8.2 Transformed Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
        8.2.1 Transformed Equations: Standard Mode . . . . . . . . . . . . . . 203
        8.2.2 Transformed Equations: Inverse Mode . . . . . . . . . . . . . . . . 205
        8.2.3 Transformed Equations: General Form . . . . . . . . . . . . . . . 205
   8.3 Numerical Method: Flows without Reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
   8.4 Numerical Method: Flows with Reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
        8.4.1 Zig-Zag Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
        8.4.2 Characteristic Box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
   References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9. Application of the Calculation Method:
   Airfoils in Incompressible Unsteady Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
   9.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
   9.1 Separation and Reattachment Near the Leading Edge
       of a Thin Oscillating Airfoil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
       9.1.1 Model Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
       9.1.2 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
       9.1.3 The Question of Singularity on an Oscillating Airfoil . . . . 227
       9.1.4 Interaction as an Answer to the Question of Singularity . . 233
   9.2 Steady and Unsteady Airfoil Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
       9.2.1 Results of Unsteady Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
       9.2.2 Initiation of Dynamic Stall on a Pitching Airfoil . . . . . . . . 248
Contents                                                                                                      XIII


          9.2.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
     References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

10. Three-Dimensional Incompressible Flows: Inviscid Method . . 253
    10.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
    10.1 General Features of the Method of Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
         10.1.1 Order of Input Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
         10.1.2 Use of a Dipole Distribution to Represent Vorticity . . . . . 256
         10.1.3 Lift Carry-Over: The Extra Strip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
         10.1.4 The Matrix of Induced Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
    10.2 Formation of the Panels from Input Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
    10.3 Induced-Velocity Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
         10.3.1 Form of the Surface Dipole Distribution . . . . . . . . . . . . . . 262
         10.3.2 Variation over a Trapezoidal Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
         10.3.3 Use of a Far-Field Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
         10.3.4 Notation for the Induced Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
         10.3.5 Far-Field Formulas for the Velocity
                 Induced by a Lifting Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
         10.3.6 Near-Field Formulas for the Velocity
                 Induced by a Lifting Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
         10.3.7 The Velocity Induced by a Wake Panel . . . . . . . . . . . . . . . 269
         10.3.8 Option for Semi-Infinite Last Wake Panel . . . . . . . . . . . . . 270
    10.4 Assembly of Final Velocities and Solution of the Equations
         for the Source and Dipole Strengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
         10.4.1 Final Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
         10.4.2 The Kutta Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
         10.4.3 Iterative Matrix Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
    References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

11. Three-Dimensional Flows: Boundary-Layer Method . . . . . . . . . 275
    11.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
    11.1 Boundary-Layer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
    11.2 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
         11.2.1 Quasi-Three-Dimensional Boundary-Layer Equations . . . . 278
         11.2.2 Attachment Line Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
    11.3 Turbulence Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
    11.4 Interaction Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
         11.4.1 Quasi-Three-Dimensional Hilbert Integral . . . . . . . . . . . . . 282
         11.4.2 Interaction Law for Three-Dimensional Flows . . . . . . . . . . 282
    11.5 Interface Program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
         11.5.1 Choice of the Surface Coordinate System . . . . . . . . . . . . . 283
         11.5.2 Geometrie Parameters of the Coordinate System . . . . . . . 286
XIV                                                                                                    Contents


          11.5.3 Calculation of Inviscid Velocity Components
                  for Boundary-Layer Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
     11.6 Transformed Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
          11.6.1 Transformed Equations: Standard Mode . . . . . . . . . . . . . . 289
          11.6.2 Transformed Equations: Inverse Mode . . . . . . . . . . . . . . . . 293
     11.7 Solution of the Three-Dimensional Boundary-Layer Equations:
          Standard Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
          11.7.1 Three-Dimensional Steady Flows Without Reversal . . . . . 296
          11.7.2 Three-Dimensional Steady Flows with Reversal . . . . . . . . 302
     11.8 Solution of the Three-Dimensional Boundary-Layer Equations:
          Inverse Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
          11.8.1 Numerical Formulation of the Three-Dimensional
                  Boundary-Layer Equations with the Zig-Zag Scheine . . . . 306
          11.8.2 Numerical Formulation of the Quasi-Three-Dimensional
                  Boundary-Layer Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
     11.9 Modelling of Viscous Effects in Three-Dimensional
          Inviscid Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
     Appendix 11A Boundary-Layer Equations for Restricted
          Three-Dimensional Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
          A11.1 Boundary-Layer Equations with Infinite-Swept-Wing
                  Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
          A11.2 External Velocity Distribution for Infinite Swept Wings . . 315
          A11.3 Boundary-Layer Equations
                  with Conical Flow Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
     References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

12. Three-Dimensional Flows: Transition Method . . . . . . . . . . . . . . . 325
    12.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
    12.1 Eigenvalue Formulations for Three-Dimensional Flows . . . . . . . . . 326
    12.2 Numerical Method for Incompressible Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
         12.2.1 Calculation of Dimensional Frequencies: The Zarf . . . . . . 329
         12.2.2 Calculation of Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
         12.2.3 Estimation of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
    12.3 Numerical Method for Compressible Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
    References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

13. Applications of the Calculation Method
    to Three-Dimensional Subsonic and Transonic Flows . . . . . . . . 339
    13.0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
    13.1 Accuracy of the en -Method for Three-Dimensional Flows . . . . . . . 339
         13.1.1 Incompressible Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
         13.1.2 Compressible Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
    13.2 Effect of Curvature on Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Contents                                                                                                       XV


          13.2.1 Incompressible Linear Stability Equations
                  with Curvature Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
          13.2.2 Effects of Sweep Angle and Reynolds Number
                  on Transition with Curvature Effect Included
                  in the Stability Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
     13.3 Subsonic Flows: Wing Alone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
          13.3.1 SAAB Wing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
          13.3.2 RAE Wing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
     13.4 Subsonic Flows: Multielement Wings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
          13.4.1 Wing-Flap Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
          13.4.2 Slat-Wing-Flap Configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
          13.4.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
     13.5 Prediction of the Aerodynamic Performance Degradation
          of an Aircraft in Natural Icing Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
          13.5.1 Prediction of Ice Shapes on Wings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
          13.5.2 Effect of Icing Conditions on Lift and Drag Coefficients . . 378
          13.5.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
     13.6 Transonic Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
          13.6.1 ONERA-M6 Wing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
          13.6.2 Douglas Wing/Fuselage Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . 386
     Appendix 13A Calculation of Particle Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
     References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393